搜索算法

简单Minimax搜索

Minimax搜索

象棋属于零和博弈，有红方和黑方，双方的收益总和为0，一方的优势总是伴随着另一方的劣势。此时，我们可以使用Minimax进行搜索。

为了方便理解，我们暂且把Maximizing Player称为“红方”，把Minimizing Player称为“黑方”（实际上则不一定），我们的评估函数暂时返回的是相对于红方的分数（分高说明红方优势，分低说明红方劣势）。

博弈的双方都想让收益最大化，红方想让分数尽量高，黑方想让分数尽量低，这样就能最大程度上保证自己这方的优势，同时让对方占到的优势最小。

举个例子，红方在一个局面有两种走法。一种走法可以吃掉对方的车，此时的分数是+500，另一种走法是送掉自己的车，此时的分数是-500。红方当然会选择对自己有利的走法，即第一种，所以该节点的分数就是+500。

伪代码如下：

int minimax(int depth, bool isMaximizingPlayer) { // 层数, 是否红方
    if (depth == 0 || isGameOver()) { // 搜索到叶子节点或游戏结束，直接返回评估
        return evaluate();
    }

    if (isMaximizingPlayer) { // 如果当前是红方
        int maxEval = INT_MIN; // 初始化为负无穷，方便程序找出所有走法中分数的最大值
        for (Move move : getPossibleMoves()) { // 走法生成
            makeMove(move); // 走子
            int eval = minimax(depth - 1, false); // 向下一层搜索，获得该走法对应的子节点的分数
            undoMove(move); // 恢复到走子前的局面
            maxEval = std::max(maxEval, eval);
        }
        return maxEval;
    } else { // 如果当前是黑方
        int minEval = INT_MAX;  // 初始化为正无穷，方便程序找出所有走法中分数的最小值
        for (Move move : getPossibleMoves()) { // 走法生成
            makeMove(move); // 走子
            int eval = minimax(depth - 1, true); // 向下一层搜索，获得该走法对应的子节点的分数
            undoMove(move); // 恢复到走子前的局面
            minEval = std::min(minEval, eval); // 取最小值
        }
        return minEval;
    }
}

Alpha-Beta剪枝的过程介绍

上面实现的简单Minimax搜索，效率其实是很低的。我们这时就要引入一种新的搜索策略——Alpha-Beta剪枝，这种剪枝方法可以在不改变结果的前提下大大减少搜索的节点数。

Alpha-Beta剪枝（带注解）

上文我们提到过，红方的目的是使得分尽量高，也就是说当前节点的分数是所有子节点分数的最大值，黑方则相反。

参考右图，我们可以举个例子说明一下Alpha-Beta剪枝的原理。

引擎搜完叶子节点的5和6，可以推断出这两个节点的父节点（图中ID：2）的分数是min(5,6)=5。这个节点的父节点在MAX层上（图中ID：1），是取其子节点分数的最大值，所以它的分数至少是5。子节点的分数只有>5才有搜下去的必要，否则不会比“ID：2”这一路线更优。

接下来我们继续搜索“ID：3”这一路线，搜完叶子节点的“7”和“4”之后，由于“ID：3”处在MIN层，其分数是取其子节点分数的最小值，所以这个节点的分数必然≤4，不可能比“ID：2”这一条路线更优，没有再搜下去的必要了，我们可以把后续的子节点（即灰色的5）剪掉。

其它灰色的部分也是同理，大家可自行按照上面的步骤推断。

根据理论推断是会了，但这仍是纸上谈兵，如何编写相关代码实现该功能呢？且听下回分解。

Alpha-Beta剪枝的代码实现

为了用代码实现Alpha-Beta剪枝，我们需要引入alpha和beta两个量，alpha是红方能保证至少获得的分数，beta是黑方能保证至多获得的分数（这里的分数都是从红方视角看的）。也就是说，最优走法的分数必然≥alpha而且≤beta。

在最开始调用“alphaBeta”函数的时候，我们应该把alpha设为负无穷，把beta设为正无穷。

当我们搜索一个节点的时候，我们需要接受从父节点传来的alpha和beta值，接着判断该节点处于MAX层还是MIN层。

这里还是举一个例子方便读者理解，假设我们处于MAX层（即红方），父节点传递的alpha值是5，beta值是8。

因为当前节点的分数是从子节点的分数中取最大值得到的，所以我们在搜索的时候可以保证当前节点的分数≥子节点的分数，应该根据子节点的分数更新alpha的值。如果我们此时搜到一个子节点，分数为10，此时当前节点的分数必定≥10。但我们不要忘了，上一层是MIN，取的是子节点中的最小分数。若当前节点的分数超过了beta，必然不会比其父节点之前搜过的某个子节点分数低，不会被父节点采纳；若当前节点的分数等于beta，必然不会比其父节点之前搜过的某个子节点更优。我们可以直接使用break跳出循环，进行Beta剪枝，同时返回目前搜过的子节点的最大分数（目前的搜索代码中，这里返回值不重要，只需要保证该节点不被父节点采纳即可）。

判断当前节点的分数是否≥beta，可以等同于判断alpha≥beta，因为alpha就是按照子节点的分数通过取最大值进行更新的。

MIN层同理，这里不再赘述。

伪代码如下：

int alphaBeta(int depth, int alpha, int beta, bool isMaximizingPlayer) {
    if (depth == 0 || isGameOver()) {
        return evaluate();
    }

    if (isMaximizingPlayer) { // 如果当前是红方
        int maxEval = INT_MIN; // 初始化为负无穷，方便程序找出所有走法中分数的最大值
        for (Move move : getPossibleMoves()) { // 走法生成
            makeMove(move); // 走子
            int eval = alphaBeta(depth - 1, alpha, beta, false); // 向下一层搜索，获得该走法对应的子节点的分数
            undoMove(move); // 恢复到走子前的局面
            maxEval = std::max(maxEval, eval); // 取最大值
            alpha = std::max(alpha, eval);
            if (beta <= alpha)
                break; // Beta剪枝
        }
        return maxEval;
    } else { // 如果当前是黑方
        int minEval = INT_MAX;  // 初始化为正无穷，方便程序找出所有走法中分数的最小值
        for (Move move : getPossibleMoves()) { // 走法生成
            makeMove(move); // 走子
            int eval = alphaBeta(depth - 1, alpha, beta, true); // 向下一层搜索，获得该走法对应的子节点的分数
            undoMove(move); // 恢复到走子前的局面
            minEval = std::min(minEval, eval); // 取最小值
            beta = std::min(beta, eval);
            if (beta <= alpha)
                break; // Alpha剪枝
        }
        return minEval;
    }
}

继续简化，引入Negamax

前面我们的分数一直是相对于红方视角的，需要将红方和黑方分类讨论，这显然使代码复杂化了。为了解决这个问题，我们需要引入Negamax。

引入Negamax后，我们对双方可以使用同样的处理策略，省去了编写MIN方代码的必要性，但是评估函数需要改成相对于走子方的分数。

如果当前走子方是红方，需要返回相对于红方的分数；如果当前走子方是黑方，需要返回相对于黑方的分数。

由于我们把两种情况合并成了一种情况，判断红黑方的参数可以删去。

在搜索子节点的时候，我们需要从MAX层切换到MIN层，或者从MIN层切换到MAX层，应该如何做呢？

在这里，我们继续举一个例子来说明。假设当前节点从父节点传下来的alpha值为5，beta值为8，说明最优走法的分数一定在5和8之间，接下来我们把分数视角切换到对手，最优走法的分数一定在-8和-5之间，-8和-5就分别是传递给子节点的alpha值和beta值。

所以，传给子节点的alpha和beta值应该是-beta和-alpha。

下面是引入Negamax后的伪代码：

int alphaBeta(int depth, int alpha, int beta) {
    if (depth == 0 || isGameOver()) {
        return evaluate();
    }

    int maxEval = INT_MIN; // 初始化为负无穷，方便程序找出所有走法中分数的最大值
    for (Move move : getPossibleMoves()) { // 走法生成
        makeMove(move); // 走子
        int eval = -alphaBeta(depth - 1, -beta, -alpha); // 向下一层搜索，获得该走法对应的子节点的分数
        undoMove(move); // 恢复到走子前的局面
        maxEval = std::max(maxEval, eval);
        alpha = std::max(alpha, eval);
        if (alpha >= beta)
            break; // Beta剪枝
    }
    return maxEval;
}

有些资料上的代码可能是这样的：

int alphaBeta(int depth, int alpha, int beta) {
    if (depth == 0 || isGameOver()) {
        return evaluate();
    }

    for (Move move : getPossibleMoves()) {
        makeMove(move);
        int val = -alphaBeta(depth - 1, -beta, -alpha);
        undoMove(move);

        if (val >= beta) {
            return beta; // Beta剪枝
        }
        if (val > alpha) {
            alpha = val; // 更新Alpha的值
        }
    }
    return alpha;
}

其实这两者是等价的，正常情况下，alpha<beta，所以alpha≥beta的情况只能是分数更新，导致alpha变大，发生Beta剪枝，所以直接和val进行比较也是一样的。

空步裁剪（Null Move Pruning）

一般来说，一个局面我方什么都不走（或者说走了一个“空步”），而是把走子权让给对方，我方是吃亏的。即最优走法的分数一般来说不会比走“空步”的分数低。

我们可以利用这一点编写一个剪枝策略——空步裁剪。空步裁剪是一种冒险策略，就是基于上面假设进行的，把比“空步”分数低的招法剪掉。

为了加快搜索，我们可以对“空步”搜索的层数额外减少R（一般是2-3）层。由于我们只关心“空步”的分数和beta相比是大还是小，所以应该用零窗口搜索（[beta - 1, beta]），使Alpha-Beta剪枝在搜索空步时发挥的作用最大。

由于走子方互换，传递给子节点的alpha值和beta值也要按照之前的方法进行转换，也就是-beta和-beta + 1。

基于空步的分数≤最优走法的分数这个假设，如果返回的评估≤beta-1，说明后续该节点的alpha值有可能达不到beta，不进行剪枝；如果返回的评估≥beta，说明最优走法的分数也一定≥beta，也就是说后续alpha在更新的时候也会≥beta，可以直接进行剪枝。

然而一些局面并不满足之前我们提到过的假设，如国际象棋的迫移局面（Zguzwang），若使用空步裁剪，则会使引擎判断错误，于是我们需要使用“isNullMoveAllowed”函数判断是否满足空步裁剪的条件，尽量规避这种现象。

伪代码如下：

// R是空步裁剪搜索中额外减去的层数
const int R = 3;

int alphaBeta(int depth, int alpha, int beta) {
    if (depth == 0 || isGameOver()) {
        return evaluate();
    }

    // Null Move Pruning
    if (depth >= R + 1 && isNullMoveAllowed()) {
        makeNullMove(); // 走一步“空步”
        int nullMoveEval = -alphaBeta(depth - R - 1, -beta, -beta + 1); // 用[beta - 1, beta]进行搜索
        undoNullMove(); // 恢复

        if (nullMoveEval >= beta) {
            return beta; // 如果beta的值还不如走“空步”的分数高，就直接剪掉
        }
    }

    int value = INT_MIN;
    for (Move move : getPossibleMoves()) { // 走法生成
        makeMove(move); // 走棋
        value = std::max(value, -alphaBeta(depth - 1, -beta, -alpha));
        undoMove(move); // 恢复
        alpha = std::max(alpha, value);
        if (alpha >= beta) {
            break; // Beta剪枝
        }
    }
    return value;
}

PVS（主要变例搜索）

PVS是对Alpha-Beta剪枝的增强，可以提高Alpha-Beta剪枝的效率。简单来说，PVS先对第一个子节点进行[alpha, beta]的全窗口搜索，再对剩余子节点使用[alpha, alpha+1]的零窗口搜索。零窗口搜索结束后，如果该节点搜索返回的评估在(alpha, beta)之间，说明该节点有希望，于是继续进行一次全窗口搜索。 伪代码如下：

int alphaBeta(int depth, int alpha, int beta) {
    if (depth == 0 || isGameOver()) {
        return evaluate();
    }

    int maxEval = INT_MIN; // 初始化为负无穷，方便程序找出所有走法中分数的最大值
    bool firstChild = true; // 标记是否为第一个子节点

    for (const Move& move : getPossibleMoves()) { // 走法生成
        makeMove(move); // 走子
        int eval;

        if (firstChild) {
            // 对第一个子节点使用全窗口搜索
            eval = -alphaBeta(depth - 1, -beta, -alpha);
            firstChild = false;
        } else {
            // 对剩余子节点使用零窗口搜索
            eval = -alphaBeta(depth - 1, -alpha - 1, -alpha);
            
            if (eval > alpha && eval < beta) {
                // 如果零窗口搜索未能确定性地剪枝，则进行全窗口重新搜索
                eval = -alphaBeta(depth - 1, -beta, -eval);
            }
        }

        undoMove(move); // 恢复到走子前的局面
        maxEval = std::max(maxEval, eval);
        alpha = std::max(alpha, eval);
        
        if (alpha >= beta) {
            break; // Beta 剪枝
        }
    }
    
    return maxEval;
}